Question

14．如图1，2，3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形，BE和CD相交于点O．

（1）在图1中，求证：△ABE≌△ADC．
（2）由（1）证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图1中∠BOC=120°，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．
（3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中∠BOC=72°（填写度数）．
（4）由此推广到一般情形（如图4），分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为$\frac{360°}{n}$（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形证明AB=AD，AC=AE，再利用等式性质得∠DAC=∠BAE，根据SAS得出△ABE≌△ADC；
（2）根据正方形性质证明△ABE≌△ADC，得∠BEA=∠DCA，再由正方形ACEG的内角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°；
（3）根据正五边形的性质证明：△ADC≌△ABE，再计算五边形每一个内角的度数为108°，由三角形外角定理求出∠BOC=72°；
（4）根据正n边形的性质证明：△ADC≌△ABE，再计算n边形每一个内角的度数为180°-$\frac{360°}{n}$，由三角形外角定理求出∠BOC=$\frac{360°}{n}$．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC；
（2）如图2，∠BOC=90°，理由是：
∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ADC≌△ABE，
∴∠BEA=∠DCA，
∵∠EAC=90°，
∴∠AMC+∠DCA=90°，
∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA，
∴∠BOC=90°；
（3）如图3，同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEM=∠DCA，
∵∠BOC=∠BEM+∠OME=∠DCA+∠AMC，
∵正五边形ACIGE，
∴∠EAC=180°-$\frac{360}{5}$=108°，
∴∠DCA+∠AMC=72°，
∴∠BOC=72°；
故答案为：72°；
（4）如图4，∠BOC的度数为$\frac{360•}{n}$，理由是：
同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEA=∠DCA，
∵∠BOC=∠BEA+∠OME=∠DCA+∠AMC，
∵正n边形AC…E，
∴∠EAC=180°-$\frac{360°}{n}$，
∴∠DCA+∠AMC=180°-（180-$\frac{360}{n}$）°，
∴∠BOC=$\frac{360°}{n}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了全等三角形、等边三角形、正四边形等图形的性质，关键是利用正n边形各边相等证明两三角形全等，运用了类比的方法，同时还要熟练掌握正n边形每一个内角的求法：可以利用外角和求，也可以利用内角和求；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和列式并综合对顶角相等分别得出结论．