Question

已知：三角形的三边长分别为a，b，c，且满足

2a2

1+a2

=b，

2b2

1+b2

=c，

2c2

1+c2

=a.
求：三角形的面积．

Answer 1

考点：分式的混合运算,三角形的面积

专题：综合题

分析：计算b-c、c-a、a-b，可得a≥b≥c、b≥c≥a、c≥a≥b，则a=b=c=1，根据等边三角形的面积公式求解．

解答：解：∵

2a2

1+a2

=b，

2b2

1+b2

=c，

2c2

1+c2

=a
解法1：b-c=

2a2

1+a2

-

2b2

1+b2

=

2(a+b)(a-b)

(1+a2)(1+b2)

∴当a≥b时有b≥c，即a≥b≥c
同理可得：c-a=

2(b+c)(b-c)

(1+c2)(1+b2)

即b≥c≥a
同理可得：a-b=

2(c+a)(c-a)

(1+c2)(1+a2)

即c≥a≥b
∴a=b=c=1．
解法2：
∵

1+a2

2a2

=

1

b

=

1

2a2

+

1

2

，
∴

1

b

=

1

2

(1+

1

a2

)，

1

c

=

1

2

(1+

1

b2

)，

1

a

=

1

2

(1+

1

c2

)，
∴1+

1

a2

-

2

b

+1+

1

b2

-

2

c

+1+

1

c2

-

2

a

，

=(1- 1 a )2+(1- 1 b )2+(1- 1 c )2 =0

∴

1

a

=

1

b

=

1

c

=1，
∴a=b=c=1，
∴S△ABC=

3

4

．

点评：此题根据分式的混合运算求三角形的面积，难度较大，要充分利用已知条件．