Question

12．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，若AB=14，BD=6，将△BCD绕点C逆时针方向旋转到△ACE的位置，对于下列说法：①△ADE是直角三角形，②△CDE是等腰三角形，③DE=10，④CD=5$\sqrt{2}$．其中正确说法是①②③④（填序号）．

Answer 1

分析 先依据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，然后依据旋转的性质可得到△BCD≌△ACE，然后找出相等的线段和相等的角，最后，再依据勾股定理、等腰三角形的性质和判定进行解答即可．

解答 解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=90°，故①正确．
∵∠C=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°．
由旋转的性质可知：∠DCB=∠ACE，CE=CD，
∴∠ECD=90°．
∴△CDE是等腰三角形，故②正确．
∵AB=14，BD=6，
∴AD=8．
由旋转的性质可知AE=BD=6，
∴在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=10，故③正确．
∵△ECD为等腰直角三角形，ED=10，
∴CD=5$\sqrt{2}$．
答案：①②③④．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．