Question

19．如图，已知抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，当 MN的值最大时，求△BMN的周长．
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S₁，△ABN的面积为S₂，且S₁=4S₂，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接用待定系数法求出直线和抛物线解析式；
（2）先求出最大的MN，再求出M，N坐标即可求出周长；
（3）先求出△ABN的面积，进而得出平行四边形CBPQ的面积，从而求出BD，联立方程组求解即可．

解答 解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入，
得，$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$
所以直线BC的解析式为y=-x+4；
将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入y=x²+bx+c，
得，$\left\{\begin{array}{l}{16+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{c=4}\end{array}\right.$
所以抛物线的解析式为y=x²-5x+4；
（2）如图1，

设M（x，x²-5x+4）（1＜x＜4），则N（x，-x+4），
∵MN=（-x+4）-（x²-5x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，MN有最大值4；
∵MN取得最大值时，x=2，
∴-x+4=-2+4=2，即N（2，2）．
x²-5x+4=4-5×2+4=-2，即M（2，-2），
∵B（4.0）
可得BN=2$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{2}$
∴△BMN的周长=4+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=4+4$\sqrt{2}$
（3）令y=0，解方程x²-5x+4=0，得x=1或4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴AB=4-1=3，
∴△ABN的面积S₂=×3×2=3，
∴平行四边形CBPQ的面积S₁=4S₂=12．
如图2，

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．
∵BC=4$\sqrt{2}$，
∴BC•BD=12，
∴BD=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，连接CQ，则四边形CBPQ为平行四边形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，
∴△EBD为等腰直角三角形，由勾股定理可得BE=$\sqrt{2}$BD=3，
∵B（4，0），
∴E（1，0），
设直线PQ的解析式为y=-x+t，
将E（1，0），代入，得-1+t=0，解得t=1
∴直线PQ的解析式为y=-x+1．
解方程组，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y={x}^{2}-5x+4}\end{array}\right.$，
得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∵点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，
∴点P的坐标为P（3，2）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数的极值，三角形的周长，三角形的面积，方程组的求解，解本题的关键是建立MN的函数关系式．