△ABC为边长2的正三角形.以点A为圆心.l为半径的圆弧与AB.AC交于E.F两点.点P是$\widehat{EF}$的动点.连接AP.并延长交线段BC于点K.过点P作弧所在圆的切线.但该切线不与BC平行时.设它与直线BC交于点M．(1)当K与B重合时.PM:KP的值是多少?(2)在点P运动的过程中.是否存在PM:KP=3的情况?若存在.请求出BK的值,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

△ABC为边长2的正三角形，以点A为圆心，l为半径的圆弧与AB、AC交于E、F两点，点P是$\widehat{EF}$的动点，连接AP，并延长交线段BC于点K，过点P作弧所在圆的切线，但该切线不与BC平行时，设它与直线BC交于点M．
（1）当K与B重合时，PM：KP的值是多少？
（2）在点P运动的过程中，是否存在PM：KP=3的情况？若存在，请求出BK的值；若不存在，请说明理由．
（3）一般地，是否存在PM：KP=n（n为正整数）的情况？试提出你的猜想（不要求证明）

分析（1）如图1中，当K与B重合时，P与E重合，M与C重合，由此不难解决问题．
（2）如图2中，作AD⊥BC于D，由△ADK∽△MPK，推出$\frac{AD}{KD}$=$\frac{PM}{PK}$=3，由此不难解决问题，注意当AK在AD右侧时，方法类似．
（3）方法类似（2）．

解答（1）解：如图1中，当K与B重合时，P与E重合，M与C重合．

∴$\frac{PM}{PK}$=tan60°=$\sqrt{3}$．
∴PM：PK=$\sqrt{3}$．

（2）存在．
理由：如图2中，作AD⊥BC于D．

∵MP是⊙A切线，
∴∠ADK=∠MPK=90°，
∵∠AKD=∠PKM，
∴△ADK∽△MPK，
∴$\frac{AD}{KD}$=$\frac{PM}{PK}$=3，
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∴KD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BK=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
当AK在AD右侧时，BK=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

（3）存在．
理由：由（2）可知，△ADK∽△MPK，
∴$\frac{AD}{KD}$=$\frac{PM}{PK}$=n，
∵△ABC是等边三角形，AB=2，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∴KD=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
∴BK=1-$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
当AK在AD右侧时，BK=1+$\frac{\sqrt{3}}{n}$．

点评本题考查圆综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

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