如图.在菱形ABCD中.∠ABC=60°.点E.F分别是AB.BC上的动点.连接DE.DF.EF．(1)如图1.连接AF.若AF⊥BC.E为AB的中点.且EF=2.求DF的长,(2)如图2.若BE=BF.G为DE的中点.连接AF.AG.FG.求证:AG⊥FG,(3)如图3.若AB=4.将△BEF沿EF翻折得到△EFP(始终保持点P在菱形ABCD的内部).连接AP.BP及CP.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF=2，求DF的长；
（2）如图2，若BE=BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
（3）如图3，若AB=4，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

分析（1）先判断出BF=CF=2，进而求出CD=4，再在Rt△CDG中求出CG，DG，最后在Rt△DFG中用勾股定理即可得出结论；
（2）构造全等三角形得出DH=AE，AG=HG，再依次判断出△AFC≌△AHD，△ABF≌△ACH即可得出△AFH是等边三角形即可得出结论；
（3）当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP=CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，则BP=PE=ED=$\frac{1}{3}$BD．

解答解：（1）如图1，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠ABC=60°，
∴BF=EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴CF=EF=2，
过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，
在Rt△CDG中，DCG=180°-∠BCD=60°，
∴∠CDG=30°，CG=$\frac{1}{2}$CD=2，DG=$\sqrt{3}$CG=2$\sqrt{3}$，
∴FG=CF+CG=4，
在Rt△DFG中，DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（2）如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠HDG，
∵G为DE的中点，
∴EG=DG，
在△AEG和△DHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠HDG}\\{EG=DG}\\{∠AGE=∠HGD}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△DHG，
∴AG=HG，AE=DH，
∵AB=BC=CD，BE=BF，
∴FC=DH，BF=CH，
在△AFC和△AHD中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=DH}\\{∠ACF=∠ADH=60°}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AHD，
∴AH=AF，
同理：△ABF≌△ACH，
∴∠BAF=∠CAH，
∴∠FAH=∠FAC+∠CAH=∠FAC+∠BAF=∠BAC=60°，
∴△AFH是等边三角形，
∵AG=HG，
∴AG⊥FG．
（3）先说明为什么四点共线时，PA+PB+PC最小．

如图a，

在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．
以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD
∵旋转60°，且BD=BP，
∴△DBP 为一个等边三角形
∴PB=PD
∴PA+PB+PC=DE+PD+PC
∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小．

如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，
∴△APC≌△DGC，
∴CP=CG，∠PCG=60°，
∴△PCG是等边三角形，
∴PG=CE=CP，∠GPC=∠CGP=60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠PCB=∠GPC-∠CBP=60°-∠30°=30°，
∴∠PCB=∠CBP=30°，
∴BP=CP，
同理，DE=CG，
∴BP=PG=GD．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，
∴BO=BC•cos∠OBC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BO=4$\sqrt{3}$，
∴BP=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．