Question

3．如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF，CE与DF交于点O，求证：
（1）CE=DF；
（2）CE⊥DF．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△BEC≌△CFD，得EC=DF；
（2）由全等得：∠FDC=∠BCE，因为∠DFC+∠FDC=90°，等量代换可得结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=DC，∠ABC=∠FCD=90°，
∵E是边AB的中点，F是边BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，FC=$\frac{1}{2}$BC，
∴BE=FC，
在△BEC和△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=FC}\\{∠ABC=∠FCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CFD（SAS），
∴EC=DF；
（2）由（1）得：△BEC≌△CFD，
∴∠FDC=∠BCE，
∵∠FCD=90°，
∴∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠DFC+∠BCE=90°，
∴∠FOC=90°，
∴CE⊥DF．

点评 本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，属于常考题型，准确证明EC和DF所在的直角三角形全等是本题的关键，同时要熟练掌握正方形的性质．