Question

14．如图，在平面直角坐标系中，已知B（8，0），C（0，6），P（-3，3），现将一直角三角板EPF的直角顶点放在点P处，EP交y轴于N，FP交x轴于M，把△EPF绕点P旋转：
（1）如图甲，①求OM+ON的值；②求BM-CN的值；
（2）如图乙，①求ON-OM的值；②求BM+CN的值．

Answer 1

分析 （1）如图甲中，①作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，得到矩形PGOH，根据矩形的性质和全等三角形的判定定理证明△NPH≌△MPG，得到NH=MG，根据图形的性质得到答案．②根据②BM-CN=OB+OM-（OC-ON）=OB-OC+OM+ON计算即可．
（2）如图乙中，①作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，由△NPH≌△MPG，推出NH=MG，推出ON-OM=（OH+HN）-（GM-OG）=OG+OH=6．
②根据BM+CN=（OB-OM）+（ON-OC）=OB-OC+ON-OM计算即可．

解答 解：（1）如图甲中，①作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，

∵四边形PGOH为矩形，
∴∠HPG=90°，又∠EPF=90°，
∴∠NPH=∠MPG，
∵P（-3，3），
∴PH=PG=3，
在△NPH和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NPH=∠MPG}\\{PH=PG}\\{∠NHP=∠MGP}\end{array}\right.$，
∴△NPH≌△MPG，
∴NH=MG，
∴OM+ON=（OG-GM）+（HN+OH）=OG+OH=6．
②BM-CN=OB+OM-（OC-ON）=OB-OC+OM+ON=8-6+6=8．

（2）如图乙中，①作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，

∵四边形PGOH为矩形，
∴∠HPG=90°，又∠EPF=90°，
∴∠NPH=∠MPG，
∵P（-3，3），
∴PH=PG=3，
在△NPH和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NPH=∠MPG}\\{PH=PG}\\{∠NHP=∠MGP}\end{array}\right.$，
∴△NPH≌△MPG，
∴NH=MG，
∴ON-OM=（OH+HN）-（GM-OG）=OG+OH=6．
②BM+CN=（OB-OM）+（ON-OC）=OB-OC+ON-OM=8-6+6=8．

点评 本题考查的是坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形，属于中考常考题型．