Question

19．如图①，一条笔直的公路上有A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离y₁、y₂（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图②所示．

根据图象进行以下探究：
（1）请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明；
（2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义；
（3）在图②中补全甲车到达C地的函数图象，并求甲车到 A地的距离y₁与行驶时间x的函数关系式；
（4）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．

Answer 1

分析 （1）由图②得：AB=60km或者AC=90km，则AB：AC=2：3，据此画图；
（2）由图②得：乙车从C地到B地一共需要2小时，则速度=150÷2=75km/h，又知C地到A地路程为90km，所以时间为：90÷75=1.2，得出M的坐标；并表示M点是乙车到达A地；
（3）根据（1，0）、（0，60）求y₁与行驶时间x的函数关系式；计算甲的速度为60km/h，最后计算甲走完全程的时间为：150÷60=2.5，根据（1，0）、（2.5，90）画线段；
（4）分别求DM、MC、BC的解析式，求两车距离A地小于等于15km时对应的时间，并计算时间差即可．

解答 解：（1）如图①，满足AB：AC=2：3，
   即AB=60km或者AC=90km；
（2）150÷2=75，
∴t=90÷75=1.2时，
∴M（1.2，0），表示此时乙车到达A地，
（3）当0＜x＜1.2时，设AB的解析式为：y₁=kx+b，
把（1，0）、（0，60）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=60}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-60}\\{b=60}\end{array}\right.$，
∴y₁=-60x+60，
甲的速度为：60÷1=60，
∴150÷60=2.5，
如图②所示，补充甲甲车到达C地的函数图象；
（4）同理BC的解析式为：y₁=60x-60，
DM的解析式为：y₂=-75x+90，
ME的解析式为：y₂=75x-90，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-60x+60≤15}\\{60x-60≤15}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{4}$≤x≤$\frac{5}{4}$，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-75x+90≤15}\\{75x-90≤15}\end{array}\right.$，
解得：1≤x≤$\frac{7}{5}$，
∴1≤x≤$\frac{5}{4}$，
$\frac{5}{4}$-1=$\frac{1}{4}$，
∴两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间$\frac{1}{4}$小时=15分钟．

点评 本题是一次函数的应用，属于行程问题，利用平面直角坐标系读出已知条件，有难度，关键是读懂题意，结合图象确定点的坐标，根据点的坐标求一次函数解析式；再根据解析式解决问题．