Question

如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且点E是DC的中点．
求证：AB=AD+BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作EF⊥AB于F，连接BE，易证EC=EF，即可求证Rt△BFE≌Rt△BCE，可得BF=BC，同理可证AF=AD，即可解题．

解答：证明：作EF⊥AB于F，连接BE，

∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，
∴EF=ED．
∵E是DC的中点，
∴DE=EC，
∴EC=EF．
∵AD∥BC，DC⊥AD，
∴∠DCB=90°．
∴∠BFE=∠ECB=90°．
在Rt△BFE和Rt△BCE中，

EF=EC BE=BE

，
∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL）．
∴BF=BC，
同理可证：AF=AD，
∴AD+BC=AF+BF=AB，即AD+BC=AB．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BFE≌Rt△BCE是解题的关键．