Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若

CE

AE

=

2

3

，求

OF

CF

的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；
（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．

解答：解：（1）证明：连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BEC=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；

（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ACB，
∴

OE

BC

=

AE

AC

，
∵

CE

AE

=

2

3

，
∴

AE

AC

=

3

5

，
∴

OE

BC

=

3

5

，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△CBF，
∴

OF

CF

=

OE

BC

=

3

5

．

点评：本题考查了切线的性质及判断，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直．