题目内容
【题目】已知等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°．点D从点B出发在线段BC移动，以AD为腰作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°．连接CE．
⑴如图，求证：△ACE≌△ABD；
⑵求证：BD2＋CD2＝2AD2；
⑶若AB＝4，试问：△DCE的面积有没有最大值，如没有请说明理由，如有请求出最大值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S△ADE 最小时，S△DCE最大，最大值 为4.
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用SAS证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出DE2=2AD2，然后根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝45°，CE=BD，求出∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，得到DE2=DC2+CE2，等量代换可得结论；
（3）根据S四边形ADCE=S△ADE+ S△DCE= S△ADC+ S△ACE=S△ABC，可知S△ADE最小时，S△DCE最大，即AD⊥BC时，求出AD即可解答本题.
解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
(2)在Rt△ADE 中，DE2=AD2+AE2，
∵AD=AE，
∴DE2=2AD2，
∵△ACE≌△ABD，
∴∠B＝∠ACE＝45°，CE=BD，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2，
∴BD2＋CD2＝2AD2；
（3）∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，
∴S四边形ADCE=S△ADE+ S△DCE= S△ADC+ S△ACE=S△ABC，
∴S△ADE最小时，S△DCE最大，即AD⊥BC时，
∵AB=4，
∴AD⊥BC时，AD=AB·cos45°=4×
=2
，
∴S△DCE= S△ABC－S△ADE=
，
即△DCE面积的最大值为4.
