Question

4．如图，已知BE、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE相交于点O，OB=OC．求证：AB=AC．

Answer 1

分析 先由AAS证明△BCE≌△CBD，得出CE=BD，再由AAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可．

解答 证明：∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∵BE、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠ABD=∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACE=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ACE，
在△BCE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ACB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\\{∠2=∠1}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBD（ASA），
∴CE=BD，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACE}&{\;}\\{∠A=∠A}&{\;}\\{BD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AB=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．