题目内容
12．CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α，（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线C、D上，请解答下面的两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF，EF=|BE-AF|（填“＞”、“＜”、“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
分析 （1）①根据△BCE≌△CAF即可得到BE=CF，CE=AF故EF=|CF-CE|=|BE-AF|．
②证明和①类似，根据△BCE≌△CAF即可得到BE=CF，CE=AF故EF=|CF-CE|=|BE-AF|．
解答 解：（1）①在图1中，∵∠BCA=∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠AFC}\\{∠BCE=∠CAF}\\{BC=CA}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|，
故答案为=，=．
②在图2中，∵∠CFA+∠BCA=180°，
∴∠CFA+∠BCE+∠ACF=180°，
∵∠CFA+∠ACF+∠CAF=180°，
∴∠BCE=∠CAF，
在△在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠AFC}\\{∠BCE=∠CAF}\\{BC=CA}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF，
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|．
点评 本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．
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