Question

如图，△ABC的三边与其内切圆分别切于D、E、F三点，在△DEF中，作FG⊥DE，连结OB、OF、OC．求证：DG•CF=EG•BF．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连结OF，OE，OD，如图，根据切线的性质得OF⊥BC，根据切线长定理得CE=CF，而OE=OF，则OC垂直平分EF，所以OC平分∠EOF，即∠FOC=

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∠EOF，利用圆周角定理得∠FDG=

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∠EOF，所以∠FOC=∠GDF，于是可证明Rt△GDF∽Rt△FOC，得到DG：OF=FG：CF，变形得DG•CF=OF•FG，同理可得Rt△GEF∽Rt△FOB，得到EG：OF=FG：BF，变形得EG•BF=OF•FG，所以DG•CF=EG•BF．

解答：证明：连结OF、OE、OD，如图，
∵△ABC的三边与其内切圆分别切于D、E、F三点，
∴OF⊥BC，CE=CF，
∴∠OFC=∠OFB=90°，
∵OE=OF，
∴OC垂直平分EF，
∴OC平分∠EOF，
∴∠FOC=

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∠EOF，
∵∠FDG=

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∠EOF，
∴∠FOC=∠GDF，
∵FG⊥DE，
∴∠GDF=90°，
∴Rt△GDF∽Rt△FOC，
∴DG：OF=FG：CF，
∴DG•CF=OF•FG，
同理可得Rt△GEF∽Rt△FOB，
∴EG：OF=FG：BF，
∴EG•BF=OF•FG，
∴DG•CF=EG•BF．

点评：本题考查了三角形的内切圆和内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了相似三角形的判定与性质．