Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交与点A（-1，0）B（4，0），且与y轴相交于C，在第一象限内抛物线上是否存在D，使得∠ADB=45°？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：易求得抛物线解析式，即可求得抛物线对称轴，在对称轴上取点O₁ （

3

2

，

5

2

），设D（x，-x²+3x+4），易得AO₁=

5 2

2

=DO₁，整理即可求得x的值，即可解题．

解答：解：∵y=-x²+bx+c的图象与x轴交与点A（-1，0）B（4，0），
∴-1-b+c=0，-16+4b+c=0，
解得：b=3，c=4，
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+4，
∴抛物线对称轴为x=

3

2

，
在对称轴上取点O₁ （

3

2

，

5

2

），
设D（x，-x²+3x+4），
∵AO₁=

5 2

2

=DO₁，
∴(x-

3

2

)2+(-x2+3x+4-

5

2

)2=(

5 2

2

)2，
整理得：x⁴-6x³+7x²+6x-8=0，
∴（x⁴+7x²-8）+（-6x³+6x）=0，
（x²-1）（x²+8）-6x（x²-1）=0，
∴（x+1）（x-1）（x-2）（x-4）=0，
∴x₁=-1，x₂=1，x₃=2，x₄=4，
∴当x=1或2时，-x²+3x+4=6，
∴D₁ （1，6），D₂（2，6）．

点评：本题考查了二次函数解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．