Question

11．观察：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）计算$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{9×10}$
（2）计算$\frac{3}{1×2}$+$\frac{3}{2×3}$+$\frac{3}{3×4}$+…+$\frac{3}{n×（n+1）}$
（3）拓展应用：①解方程：$\frac{1}{（x-4）（x-3）}$+$\frac{1}{（x-3）（x-2）}$+$\frac{1}{（x-2）（x-1）}$+$\frac{1}{（x-1）x}$+$\frac{1}{x（x+1）}$=0
②计算$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+$\frac{1}{10×13}$+$\frac{1}{13×16}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题中的规律即可得到结论；
（3）根据题中的规律解分式方程；
（4）根据题中的规律即可得到结论．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{9×10}$=（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$；
（2）$\frac{3}{1×2}$+$\frac{3}{2×3}$+$\frac{3}{3×4}$+…+$\frac{3}{n×（n+1）}$=3（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）=3（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{3n}{n+1}$；
（3）解：$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-3}$+$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$=0，
∴$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x+1}$=0，
去分母得，x+1-x+4=0，
∴原方程无解；
②$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+$\frac{1}{10×13}$+$\frac{1}{13×16}$
=$\frac{1}{3}×$（$\frac{3}{1×4}$+$\frac{3}{4×7}$+$\frac{3}{7×10}$+$\frac{3}{10×13}$+$\frac{3}{13×16}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{16}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{16}$）
=$\frac{5}{16}$．

点评 本题考查了解分式方程，有理数的混合运算，找出题中的规律是解题的关键．