Question

10．如图，直线l与半径为6的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于B点，连结AO并延长交⊙O于C点，连结PA、PC．①∠APC=90°度；②设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是3．

Answer 1

分析 ①由圆周角定理可得，AC为直径，∠CPA=90°；
②得出△APC∽△PBA，利用$\frac{AP}{AC}=\frac{BP}{AP}$，得出x-y=x-$\frac{1}{12}$x²=-$\frac{1}{12}$x²+x=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+3，所以x-y的最大值是3．

解答 解：①∵AC为直径，
∴∠CPA=90°，
故答案为：90°；

②∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∵∠CPA=90°，
∴△APC∽△PBA，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{BP}{AP}$，
∵PA=x，PB=y，半径为6，
∴$\frac{x}{12}$=$\frac{y}{x}$，
∴y=$\frac{1}{12}$x²，
∴x-y=x-$\frac{1}{12}$x²=-$\frac{1}{12}$x²+x=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+3，
∴x-y的最大值是3．
故答案为3．

点评 此题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．