Question

15．已知，AB是圆O的直径，取一把直角三角尺，按如图位置摆放，其中直角顶点放在圆心O上，两条直角边与圆O相交于点M和点N，作ME⊥AB，垂足为点E，NF⊥AB，垂足为点F．
（1）试说明EF=ME+NF的理由．
（2）如果将这把直角三角尺绕圆心O旋转（点M，N与点A，B都不重合），那么EF与ME，NF之间的数量关系是否会发生变化？如果发生变化，请写出它们的数量关系；如果不发生变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用HL证明△MOE≌△NOF，得到ME=OF，NF=OE，即可证明结论；
（2）运用类比思想，分别探究当E、F在点O两侧时和当E、F在点O同侧时，三条线段的数量关系．

解答 解：（1）如图1所示，
∵三角尺的两条直角边分别与⊙O交于M、N两点；直角顶点在圆心O上，
∴OM=ON，∠MPN=90°，
∵ME⊥AB，NF⊥AB，
∴∠OEM=∠OFN=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△MOE≌△NOF（HL），
∴ME=OF，NF=OE，
∴EF=OE+OF=NF+ME；

（2）EF与ME、NF的数量关系发生变化
当E、F在点O两侧时，如图1所示，EF=ME+NF；
当E、F在点O同侧时，同（1）可证△MOE≌△NOF，
∴ME=OF，NF=OE，
如图2所示，当OF＞OE时，EF=OF-OE=ME-NF，
如图3所示，当OE＞OF时，EF=OE-OF=NF-ME．

点评 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，运用类比思想探究E、F在不同位置三线段的数量关系如何变化．