Question

20．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
（1）求证：四边形ADPO是菱形；
（2）求证：△CDP≌△POB．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理得出DP∥AB，DP=$\frac{1}{2}$AB，再由OA=OB可知DP=OA，故四边形AOPD是平行四边形，根据OP=OA可得出结论；
（2）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=$\frac{1}{2}$AB，由SAS可证△CDP≌△POB．

解答 （1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，
∴DP是△ABC的中位线，
∴DP∥AB，DP=$\frac{1}{2}$AB．
∵OA=OB，
∴DP=OA，
故四边形AOPD是平行四边形．
∵OP=OA，
∴四边形ADPO是菱形；

（2）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，
∴DP∥AB，
∴DP=$\frac{1}{2}$AB，∠CPD=∠PBO，
∵BO=$\frac{1}{2}$AB，
∴DP=BO，
在△CDP与△POB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}DP=BO\\∠CPD=∠PBO\\ PC=PB\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△POB（SAS）．

点评 本题考查的是圆周角定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，解题的关键是SAS证明△CDP≌△POB．