Question

1．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（4，3）
（1）顶点C的坐标为（-3，4），顶点B的坐标为（1，7）；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
（3）若正方形OABC以每秒$\frac{5}{3}$个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落到x轴上时停止下滑．设正方形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，推出C（-3，4），由CK=AK，OK=BK，可得K（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），B（1，7）．
（2）分两种情形①当点Q在OA上时．②当点Q在OC上时．分别计算即可．
（3）分两种情形①当点A运动到点O时，t=3，当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．②当点C运动到x轴上时，t=4当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F．分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．

易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，
∴C（-3，4），∵CK=AK，OK=BK，
∴K（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），B（1，7），
故答案为-3，4，1，7．

（2）由题意得，AO=CO=BC=AB=5，
当t=2时，CP=2．
①当点Q在OA上时，∵PQ≥AB＞PC，
∴只存在一点Q，使QC=QP．
作QD⊥PC于点D（如图2中），则CD=PD=1，

∴QA=2k=5-1=4，
∴k=2．
②当点Q在OC上时，由于∠C=90°所以只存在一点Q，使CP=CQ=2，
∴2k=10-2=8，∴k=4．
综上所述，k的值为2或4．

（3）①当点A运动到点O时，t=3．
当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．

则△A’OF∽△EOO’，

∴$\frac{EO′}{OO′}$=$\frac{A′F}{OF}$=$\frac{3}{4}$，OO′=$\frac{5}{3}$t，
∴EO′=$\frac{5}{4}$t，
∴S=$\frac{25}{24}$t²．
②当点C运动到x轴上时，t=4
当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F，

则A’O=A′O=$\frac{5}{3}$t-5，
∴A′F=$\frac{5t-15}{4}$．
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{5t-15}{4}$+$\frac{5}{4}$t）×5=$\frac{50t-75}{8}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{24}{t}^{2}}&{（0＜t≤3）}\\{\frac{50t-75}{8}}&{（3＜t≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．