如图1.直角坐标系中有一矩形OABC.其中O是坐标原点.点A.C分别在x轴和y轴上.点B的坐标为(3.4).直线y=$\frac{1}{2}$x交AB于点D.点P是直线y=$\frac{1}{2}$x位于第一象限上的一点.连接PA.以PA为半径作⊙P.(1)连接AC.当点P落在AC上时.求PA的长,(2)当⊙P经过点O时.求证:△PAD是等腰三角形,(3)设点P的横坐标为m.①在点P移� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图1，直角坐标系中有一矩形OABC，其中O是坐标原点，点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3，4），直线y=$\frac{1}{2}$x交AB于点D，点P是直线y=$\frac{1}{2}$x位于第一象限上的一点，连接PA，以PA为半径作⊙P，
（1）连接AC，当点P落在AC上时，求PA的长；
（2）当⊙P经过点O时，求证：△PAD是等腰三角形；
（3）设点P的横坐标为m，
①在点P移动的过程中，当⊙P与矩形OABC某一边的交点恰为该边的中点时，求所有满足要求的m值；
②如图2，记⊙P与直线y=$\frac{1}{2}$x的两个交点分别为E，F（点E在点P左下方），当DE，DF满足$\frac{1}{3}$＜$\frac{DE}{DF}$＜3时，求m的取值范围．（请直接写出答案）

分析（1）由△OPC∽△ADP，可得$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{OC}$，求出AC、AD即可解决问题；
（2）只要证明∠PDA=∠DAP即可．
（3）①分三种情形分别求解即可ⅰ）如图2中，交点M是OC中点，PM=PA；ⅱ）如图3中，交点M是OA中点，PM=PA；ⅲ）如图4中，交点M是AB中点，PM=PA；ⅳ）如图5中，交点M是BC中点，PM=PA；
②如图6中，当DE=3DF时，易知PA=2PD．由此列出方程即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，

∵B（3，4）∴BC=3，AB=4
∵∠B=90°∴AC=5
∵OC∥AB，
∴△OPC∽△ADP，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{OC}$，
即$\frac{AP}{5-AP}=\frac{1.5}{4}$
∴$AP=\frac{15}{11}$．

（2）∵⊙P经过点O，
∴OP=AP
∴∠POA=∠PAO，
∵∠PDA+∠POA=∠DAP+∠PAO，
∴∠PDA=∠DAP，
∴△PAD是等腰三角形．

（3）①分4种情形讨论：
ⅰ）如图2中，

交点M是OC中点，PM=PA
则${m^2}+{（2-\frac{1}{2}m）^2}={（\frac{1}{2}m）^2}+{（3-m）^2}$，
解得$m=\frac{5}{4}$．
ⅱ）如图3中，

交点M是OA中点，PM=PA
∴MG=GA=$\frac{3}{4}$，
∴$m=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$．
ⅲ）如图4中，

交点M是AB中点，PM=PA
∴PG=$\frac{1}{2}$AM=1，
∴PH=2DH=2×$（\frac{3}{2}-1）$=1，
∴m=2．
ⅳ）如图5中，

交点M是BC中点，PM=PA
则${（m-\frac{3}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}m-4）^2}={（m-3）^2}+{（\frac{1}{2}m）^2}$，
解得$m=\frac{37}{4}$．
综上所述，满足要求的m值为$\frac{5}{4}$或$\frac{9}{4}$或2或$\frac{37}{4}$．
②如图6中，当DE=3DF时，易知PA=2PD．

设P（m，$\frac{m}{2}$），则$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{m}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{（m-3）^{2}+（\frac{m}{2}-\frac{3}{2}）^{2}}$，
解得m=$\frac{12}{5}$或4，
当m=4时，ED=$\frac{1}{3}$DF，
综上可知，当DE，DF满足$\frac{1}{3}$＜$\frac{DE}{DF}$＜3时，m的取值范围为$\frac{12}{5}$＜m＜4．