Question

【题目】如图，正方形中，点从点出发沿边向点运动，到达点停止．作射线，将绕着点逆时针旋转45°，与边交于点，连接．

（1）画图，完善图形．

（2）三条线段，，之间有无确定的数量关系？请说明理由．

（3）过点作于．若线段的最大值为4，求点运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）

【解析】

（1）依题意补全图形即可；
（2将绕点逆时针旋转90°到，，得出,．证明，得出，即可得出结论；
（3）确定点H的运动轨迹，利用弧长公式计算即可．

解：（1）画图，如图所示：

（2），，之间有确定的数量关系，．

理由如下．

如图1，

∵是正方形，

∴可将绕点逆时针旋转90°到．

∴，．

∴，，．

∴Q，B，M在同一条直线上．

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

（3）如图2，

由（2），，

∵，

∴，

∴，

当点还在点处时，是正方形的对角线，此时最长，

即正方形的对角线为4．

∴正方形的边长，

∴，

当点从到点时，点从点沿圆弧到点，圆心角．

∴点运动的路径长为．