Question

16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，若BC=$\sqrt{5}$，CD=2，则tan∠ADO的值为（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 作OM⊥AD于M，BN⊥OC于N，先证明四边形CDMO是矩形，△OAM≌△BON，得到BN=OM=CD=2，在RT△BCN中利用勾股定理求出CN，在RT△OBN中，利用勾股定理求出半径，即可解决问题．

解答 解：作OM⊥AD于M，BN⊥OC于N，
∵DC是⊙O切线，
∴DC⊥OC，
∵AD⊥CD，
∴∠DCO=∠CDM=∠OMD=90°，
∴四边形CDMO是矩形，
∴OM=CD=2，OC∥AD，
∴∠BON=∠OAM，∵∠ADO=∠DOC
在△AOM和△OBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMA=∠BNO}\\{∠BON=∠OAM}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△BON，
∴BN=OM=2，
在RT△CBN中，∵∠BNC=90°，BN=2，BC=$\sqrt{5}$，
∴CN=$\sqrt{B{C}^{2}-B{N}^{2}}=1$，设半径为r，
在RT△OBN中，∵OB²=ON²+BN²，
∴r²=4+（r-1）²，
∴r=$\frac{5}{2}$，
在RT△DOC中，tan∠DOC=tan∠ADO=$\frac{DC}{CO}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠ADO=$\frac{4}{5}$，
故选C．

点评 本题考查切线的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．