Question

20．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．
（1）求证：FB为⊙O的切线；
（2）若AB=8，CE=2，求sin∠BDC．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据圆周角定理证得∠CBD=90°，然后根据等边对等角以及等量代换，证得∠OBF=90°即可证得；
（2）首先利用垂径定理求得BE的长，根据勾股定理求得圆的半径和BC的长，即可得到结果．

解答 （1）证明：连接OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
又∠CBF=∠D，
∴∠CBF=∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF=∠CBD=90°，即OB⊥BF，
∴FB是圆的切线；

（2）解：∵CD是圆的直径，CD⊥AB，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
设圆的半径是R，
在直角△OEB中，根据勾股定理得：R²=（R-2）²+4²，
解得：R=5，
在R_t△BEC中，BC=$\sqrt{B{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在R_t△DBC中，sin∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．