Question

8．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足为E、F，连接EF．求证：PD=EF．

Answer 1

分析 可先证明△ABP≌△ADP，再证明四边形PEBF为矩形，由矩形的性质可证得PD=EF．

解答 证明：连接BP，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，∠ABC=90°，
在△ABP和△ADP中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAC}\\{AP=AP}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=PD，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB=∠PFB=∠ABC=90°，
∴四这形PEBF为矩形，
∴BP=EF，
∴PD=EF．

点评 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS、和HL．