题目内容
9．
如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=1；③△BMG是等边三角形；④P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是$\sqrt{3}$．其中正确结论的序号是①③④．
分析 ①首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN=60°；
②首先根据∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根据AB=2，求出AM的大小即可；
③根据∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等边三角形；
④首先根据△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，判断出BN⊥MG，即可求出BN的大小；然后根据E点和H点关于BM称可得PH=PE，因此P与Q重合时，PN+PH=PN+PE=EN，据此求出PN+PH的最小值是多少即可．
解答 解：①如图1，连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
根据折叠的性质，可得
AB=BN，
∴AN=AB=BN．
∴△ABN为等边三角形．
∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，
即结论①正确；
②∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，
∴AM=AB•tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即结论②不正确；
③∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BMG=∠BNM-∠MBN=90°-30°=60°，
∴∠MBG=∠ABG-∠ABM=90°-30°=60°，
∴∠BGM=180°-60°-60°=60°，
∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG为等边三角形，
即结论③正确．
④∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，
∴BN⊥MG，∴BN=BG•sin60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
根据条件易知E点和H点关于BM对称，∴PH=PE，
∴P与Q重合时，PN+PH的值最小，此时PN+PH=PN+PE=EN，
∵EN=$\sqrt{B{N}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（2÷2）^{2}}$，
∴PN+PH=$\sqrt{3}$，
∴PN+PH的最小值是$\sqrt{3}$，
即结论④正确；
故答案为：①③④．
点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了折叠的性质和应用，以及余弦定理的应用，要熟练掌握．
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