Question

19．观察规律并填空．
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$；
（1$-\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$=$\frac{1}{2}•\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$；
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}•\frac{3}{4}\frac{7}{12}=\frac{1}{2}•\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$；
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}•\frac{3}{4}•\frac{5}{4}•\frac{4}{5}•\frac{6}{5}=\frac{1}{2}•\frac{6}{5}=\frac{3}{5}$；
计算：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{6}^{2}}$）=$\frac{7}{12}$；
应用：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{n+1}{2n}$．（用含n的代数式，n是正整数，且n≥2）

Answer 1

分析 根据（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$；（1$-\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$=$\frac{1}{2}•\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$；（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}•\frac{3}{4}\frac{7}{12}=\frac{1}{2}•\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$；（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}•\frac{3}{4}•\frac{5}{4}•\frac{4}{5}•\frac{6}{5}=\frac{1}{2}•\frac{6}{5}=\frac{3}{5}$；可得（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{6}^{2}}$）=$\frac{1}{2}$$•\frac{7}{6}$=$\frac{7}{12}$；（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$，据此解答即可．

解答 解：∵（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$；
（1$-\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}$=$\frac{1}{2}•\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$；
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}•\frac{3}{4}\frac{7}{12}=\frac{1}{2}•\frac{5}{4}=\frac{5}{8}$；
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{3}{2}•\frac{2}{3}•\frac{4}{3}•\frac{3}{4}•\frac{5}{4}•\frac{4}{5}•\frac{6}{5}=\frac{1}{2}•\frac{6}{5}=\frac{3}{5}$；
∴（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{6}^{2}}$）=$\frac{1}{2}$$•\frac{7}{6}$=$\frac{7}{12}$；
∴（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$．
故答案为：$\frac{7}{12}、\frac{n+1}{2n}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$．