Question

14．如图1，抛物线y=nx²-11nx+24n（n＜0）与x轴交于B、C两点（的左侧点B在点C），抛物线上另有一点A在第一象限内，∠BAC=90°，△OAC为等腰三角形．
（1）求此时抛物线的解析式；
（2）如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N．试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）把二次函数解析式转化为两点式，易求得：B（3，0），C（8，0），作AE⊥OC于点E，构建相似三角形△ACE∽△BAE，由该相似三角形的对应边成比例求得AE=2．则点A的坐标是（4，2），然后将其代入抛物线来求n的值即可；
（2）依题意得：M（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{11}{2}$m-12）．根据点C、D的坐标易推知直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，故N（m，$\frac{1}{2}$m-4）．则线段MN的长度可以求得，则S_{四边形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=-（m-5）²+9．根据二次函数的性质可以求得最值．

解答 解：（1）∵y=nx²-11nx+24n=n（x-3）（x-8），
∴B（3，0），C（8，0），
如图1，作AE⊥OC于点E．
∵△OAC为等腰三角形，
∴OE=EC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴BE=4-3=1．
又∵∠BAC=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$，即AE²=BE•CE=1×4=4，
∴AE=2．
则A（4，2）．
将其代入抛物线y=nx²-11nx+24n，得
2=n•4²-4×11n+24n，
解得n=-$\frac{1}{2}$．
故该抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{11}{2}$x-12；

（2）如图2，∵点M的横坐标为m，且点M在（1）中的抛物线上，
∴点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{11}{2}$m-12）．
由（1）知，点D的坐标为（4，-2），
则直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4．
∴点N的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m-4）．
∴MN=（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{11}{2}$m-12）-（$\frac{1}{2}$m-4）=-$\frac{1}{2}$m²+5m-8，
∴S_{四边形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$MN•CE=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²+5m-8）×4=-（m-5）²+9．
∴当m=5时，四边形AMCN的面积取得最大值，为9．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（2）中弄清线段MN长度的意义是解题的关键．