Question

已知二次函数y=（m-1）x²+（m-3）x-2 （m为常数，且m≠1）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有交点；
（2）当函数图象的对称轴为x=1时，把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，求此时抛物线与y轴的交点；
（3）在（2）的情况下，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）首先利用根的判别式进而得出△=（m+1）²≥0，即可得出答案；
（2）首先表示出抛物线的对称轴，进而得出m的值，再利用配方法求出抛物线顶点坐标即可；
（3）根据题意得出围成部分面积利用平移转化成：四边形PQMN的面积求出即可．

解答：（1）证明：∵（m-1）x²+（m-3）x-2=0，
△=（m+1）²≥0，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有交点；

（2）解：∵-

b

2a

=

3-m

2(m-1)

=1，
解得：m=

5

3

，
∴y=

2

3

x²-

4

3

x-2=

2

3

（x-1）²-

8

3

，
∴N（0，-2），
∴顶点M（1，-

8

3

），
∴P（0，

2

3

）；

（3）解：由题意可得出：Q（1，0），
围成部分面积利用平移转化成：四边形PQMN的面积，
∴两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积为：1×

8

3

=

8

3

．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图象与几何变换等知识，得出围成部分面积利用平移转化成：四边形PQMN的面积是解题关键．