Question

6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，O为AC的中点，AD为高，OG⊥AC，交AD的延长线于G，OB交AD于F，OE⊥OB交BC于E，过点O作OH⊥BC于H，求证：DF=HE．

Answer 1

分析 根据已知条件得到AB=AO=OC，推出∠BAC+∠AOG=180°，根据平行线的性质得到∠G=∠BAD，根据垂直的定义得到∠BDA=∠BAC=90°，由余角的性质得到∠C=∠BAD，证得∠C=∠G，求得∠BFA=∠OEC，推出△ABF≌△COE（AAS），根据全等三角形的性质得到BF=OE，推出△BDF≌△OHE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵AC=2AB．O为AC的中点，
∴AB=AO=OC，
∵∠BAC=90°，OG⊥AC，
∴∠BAC=∠AOG=90°，
∴∠BAC+∠AOG=180°，
∴AB∥OG，
∴∠G=∠BAD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠ABC+∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠C=∠G，
∵OB⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∵∠BFA=∠BDA+∠OBE=90°+∠OBE，∠OEC=∠BOE+∠OBE=90°+∠OBE，
∴∠BFA=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ECO}\\{∠AFB=∠CEO}\\{AB=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴BF=OE，
∵∠BFA=∠OEC，
∴∠BFD=∠OEH，
在△BDF与△OEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠OEH}\\{∠BDF=∠OHE}\\{BF=OE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△OHE，
∴DF=HE．

点评 本题考查了三角形外角性质，垂直定义，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．