Question

16．已知点P是边长为4的等边三角形边BC上一点，从点P向AB作垂线PQ，延长PQ与AC的延长线交于点R，设BP=x，$\frac{PQ+RQ}{PQ}=y$，则y关于x的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 作CD⊥PQ于D，如图，根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，再利用互余得到∠BPQ=30°，∠R=30°，加上∠CPR=∠BPQ=30°，则∠CPR=∠R，于是根据等腰三角形的判定得CP=CR，所以PD=RD，于是得到y=2+$\frac{2PD}{PQ}$，然后证明△PCD∽△PBQ，利用相似比得到$\frac{PD}{PQ}$=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{4-x}{x}$，所以y=$\frac{8}{x}$（0＜x＜4），于是根据此反比例函数的解析式可对各选项计算判断．

解答 解：作CD⊥PQ于D，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵RQ⊥AB，
∴∠BPQ=30°，∠R=30°，
而∠CPR=∠BPQ=30°，
∴∠CPR=∠R，
∴CP=CR，
∵CD⊥PR，
∴PD=RD，
y=$\frac{PQ+PQ+PR}{PQ}$=2+$\frac{2PD}{PQ}$，
∵△PCD∽△PBQ，
∴$\frac{PD}{PQ}$=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{4-x}{x}$，
∴y=2+$\frac{2（4-x）}{x}$=$\frac{8}{x}$（0＜x＜4）．
故选B．

点评 本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是构建△PCD∽△PBQ，