Question

已知方程x²-4x+2-k²=0，且k≠0，不解方程证明：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有一根大于1，另一根小于1．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：证明题

分析：（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b²-4ac的值的符号就可以了．
（2）利用根与系数的关系以及（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，确定两个根的取值情况．

解答：证明：（1）∵有两个不相等的实数根，a=1，b=-4，c=2-k²，
∴△=b²-4ac=（-4）²-4×1×（2-k²）=8+4k²＞0，
∴方程两个不相等的实数根

（2）设方程有两个根为x₁和x₂，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=2-k²-4+1=-k²-1，
∵k为实数且k≠0，
∴-k²＜0，
∴-k²-1＜0，
因此方程的一个根＞1，另一个根＜1．

点评：本题考查了抛物线和x轴的交点问题，判断一元二次方程根的情况与判别式△的关系，可以转化为判断方程的根的判别式与0的大小关系，另外本题根据方程的一个根＞1，另一个根＜1，转化为（x₁-1）（x₂-1）＜0，是解题的关键．