题目内容
如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，4）的直线l1与过点O的直线l2交于点B（2| 3 |
（1）线段OE的长度为
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）若PQ与l2交于点D，则满足△OPD是等腰三角形的t的值是
考点：一次函数综合题
专题：综合题
分析：（1）在Rt△CEO中运用三角函数就可解决问题；
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1，由题可得PE=OQ=1×t=t，然后在Rt△OHP中运用三角函数求出PH（用t的代数式表示），从而得到S与t的函数关系式，然后运用配方法就可解决问题；
（3）易求出∠EOB=30°，可分三种情况（①OP=OD，②DO=DP，③PO=PD）进行讨论，然后运用三角函数建立方程，就可解决问题．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1，由题可得PE=OQ=1×t=t，然后在Rt△OHP中运用三角函数求出PH（用t的代数式表示），从而得到S与t的函数关系式，然后运用配方法就可解决问题；
（3）易求出∠EOB=30°，可分三种情况（①OP=OD，②DO=DP，③PO=PD）进行讨论，然后运用三角函数建立方程，就可解决问题．
解答：解：（1）∵点C（0，4），
∴OC=4．
在Rt△CEO中，
∵∠OCB=60°，OC=4，
∴OE=OC•sin∠ECO=4×sin60°=4×
=2
．
故答案为：2
．
（2）
过点P作PH⊥x轴于点H，如图1．
由题可得PE=OQ=1×t=t．
∵∠CEO=90°，∠OCE=60°，
∴∠COE=30°，
∴∠EOA=60°，
∴PH=OP•sin∠POH=（2
-t）×
=3-
t，
∴S=S△OPQ=
OQ•PH=
t（3-
t）=-
t2+
t
=-
（t2-2
t）
=-
[（t-
）2-3]
=-
（t-
）2+
．
∵-
＜0，
∴当t=
时，S取最大值，最大值为
．
（3）①
若OP=OD，如图2．
∵点B（2
，2），
∴OA=2
，AB=2，
∴tan∠BOA=
=
=
，
∴∠BOA=30°，
∴∠EOB=60°-30°=30°．
∵OP=OD，
∴∠OPD=
=75°，
∴∠PQO=180°-60°-75°=45°，
∴∠HPQ=90°-45°=45°=∠PQO，
∴PH=QH．
在Rt△OHP中，
PH=OP•sin∠POH=（2
-t）×
=3-
t，
OH=OP•cos∠POH=（2
-t）×
=
-
t，
∴OQ=OH+HQ=OH+PH=
-
t+3-
t=t，
解得：t=2．
②
若DO=DP，如图3，
则有∠DPO=∠POD=30°，
∴∠PQO=180°-60°-30°=90°，
∴OQ=OP•cos∠POQ=
OP，
∴OP=2OQ，
∴2
-t=2t，
解得：t=
．
③若PO=PD，
则有∠PDO=∠POD=30°，
∴∠PDO=∠BOA=30°，
∴PQ∥OA，
与“PQ与OA相交”矛盾，
该情况不存在．
综上所述：满足△OPD是等腰三角形的t的值是2或
．
故答案为：2或
．
∴OC=4．
在Rt△CEO中，
∵∠OCB=60°，OC=4，
∴OE=OC•sin∠ECO=4×sin60°=4×
| ||
| 2 |
| 3 |
故答案为：2
| 3 |
（2）
过点P作PH⊥x轴于点H，如图1．由题可得PE=OQ=1×t=t．
∵∠CEO=90°，∠OCE=60°，
∴∠COE=30°，
∴∠EOA=60°，
∴PH=OP•sin∠POH=（2
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴S=S△OPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 2 |
=-
| ||
| 4 |
| 3 |
=-
| ||
| 4 |
| 3 |
=-
| ||
| 4 |
| 3 |
3
| ||
| 4 |
∵-
| ||
| 4 |
∴当t=
| 3 |
3
| ||
| 4 |
（3）①
若OP=OD，如图2．∵点B（2
| 3 |
∴OA=2
| 3 |
∴tan∠BOA=
| AB |
| OA |
| 2 | ||
2
|
| ||
| 3 |
∴∠BOA=30°，
∴∠EOB=60°-30°=30°．
∵OP=OD，
∴∠OPD=
| 180°-30° |
| 2 |
∴∠PQO=180°-60°-75°=45°，
∴∠HPQ=90°-45°=45°=∠PQO，
∴PH=QH．
在Rt△OHP中，
PH=OP•sin∠POH=（2
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
OH=OP•cos∠POH=（2
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴OQ=OH+HQ=OH+PH=
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
解得：t=2．
②
若DO=DP，如图3，则有∠DPO=∠POD=30°，
∴∠PQO=180°-60°-30°=90°，
∴OQ=OP•cos∠POQ=
| 1 |
| 2 |
∴OP=2OQ，
∴2
| 3 |
解得：t=
2
| ||
| 3 |
③若PO=PD，
则有∠PDO=∠POD=30°，
∴∠PDO=∠BOA=30°，
∴PQ∥OA，
与“PQ与OA相交”矛盾，
该情况不存在．
综上所述：满足△OPD是等腰三角形的t的值是2或
2
| ||
| 3 |
故答案为：2或
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、三角函数、二次函数的最值等知识，运用配方法是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想和三角函数是解决第（3）小题的关键．
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