Question

12．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：
（1）BD²=AD•BE；
（2）CD•BF=BC•DF．

Answer 1

分析 （1）由∠CBE=∠ABD，得到∠ABC=∠DBE等量代换得到∠A=∠DBE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADB，∠DBE=∠BDE，等量代换得到∠A=∠DBE=∠BDE，推出△ABD∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）通过△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质得到∠C=∠E，BE=BC，由于∠CFD=∠EFB，证得△CFD∽△EFB，根据相似三角形的性质得到结论．

解答 证明：（1）∵∠CBE=∠ABD，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠A=∠ABC，
∴∠A=∠DBE，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∵BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴∠A=∠DBE=∠BDE，
∴△ABD∽△DEB，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{BE}$，
即BD²=AD•BE；

（2）在△ABC与△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BDE}\\{AB=DB}\\{∠ABC=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，BE=BC，
∵∠CFD=∠EFB，
∴△CFD∽△EFB，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{CD}$，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{BC}{CD}$，
即：CD•BF=BC•DF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．