题目内容
1．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图1，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．”小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“≥”，“≤”或“=”）
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“≥”，“≤”或“=”）．理由如下：如图3，过点E做EF∥BC，交AC于点F．（请你完成解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
分析 （1）只要证明BD=BE即可解决问题．
（2）结论：AE=BD．如图2中，作EF∥BC交AC于F．只要证明△DBE≌△EFC，推出BD=EF=AE，推出BD=AE．
（3）分两种情形讨论如图3中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，易证△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD-BC=2-1=1．如图4中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，易证△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．由此即可解决问题．
解答 解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，AE=EB，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE=AE．
故答案为=．
（2）结论：AE=BD．理由如下：
如图2中，作EF∥BC交AC于F．
∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=E=AFF，∠AFE=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，
∵∠D=∠ECB=∠CEF，
在△DBE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠EC}\\{∠D=∠CEF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC，
∴BD=EF=AE，
∴BD=AE，
故答案为=．
（3）如图3中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，
易证△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD-BC=2-1=1．
如图4中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，
易证△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．
综上所述，CD的长为1或3．
点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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