Question

17．已知x²-3x+1=0，求下列代数式的值：
（1）x²+x^-2；
（2）（x-$\frac{1}{x}$）²；
（3）x⁴-2x³-5x+2．

Answer 1

分析 （1）把x²-3x+1=0两边都除以x得：x-3+$\frac{1}{x}$=0，即x+$\frac{1}{x}$=3，代入x²+x^-2=（x+$\frac{1}{x}$）²-2可得；
（2）将（1）中结果代入（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2可得；
（3）由原式得x⁴=3x³-x²，x³=3x²-x，代入后逐步化简可得．

解答 解：（1）∵x²-3x+1=0，且x≠0，
∴两边都除以x得：x-3+$\frac{1}{x}$=0，即x+$\frac{1}{x}$=3，
则x²+x^-2=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=9-2=7；

（2）（x-$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2=7-2=5；

（3）∵x²-3x+1=0，
∴x²=3x-1，
∴x⁴=3x³-x²，x³=3x²-x，
则原式=3x³-x²-2x³-5x+2
=x³-x²-5x+2
=3x²-x-x²-5x+2
=2x²-6x+2
=2（x²-3x+1）
=0．

点评 本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握等式的基本性质及整体代入思想的运用是解题的关键．