Question

5．如图，Rt△AOB与Rt△COD是两块不全等的等腰直角三角形．
（1）如图①，点C在AB边上运动，连接BD，则AC与BD的数量关系是AC=BD（不证明）；
（2）如图②，若点C在运动到BA的延长线上时，∠BCD的平分线交射线OB于点P，则AB、CD、PB之间有怎样的数量关系？写出你结论并证明；
（3）如图③，若点C在运动到AB的延长线上时，其它条件不变，请你完成图③，则（1）、（2）中的结论还成立吗？写出你结论（不证明）

Answer 1

分析 （1）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可解决问题．
（2）结论：CD-AB=$\sqrt{2}$AP．只要证明∠P=∠PCO，推出OP=OC，推出$\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$OC，推出$\sqrt{2}$（OB+PB）=CD，推出$\sqrt{2}$OB+$\sqrt{2}$PB=CD，推出AB+$\sqrt{2}$PB=CD，即可推出CD-AB=$\sqrt{2}$PB．
（3）如图3中，①中的结论AC=BD成立．②中结论不成立．结论是：AB+CD=$\sqrt{2}$PB．证明方法类似．

解答 解：（1）结论：AC=BD．
理由：如图1中，

∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．
故答案为AC=BD．

（2）结论：CD-AB=$\sqrt{2}$PB．
理由：如图2中，

∵∠ABO=∠P+∠PCB，∠ABO=45°
∴∠P=45°-∠PCB，
∵∠PCO=∠DCO-∠DCP，∠DCO=45°，∠DCP=∠PCB，
∴∠PCO=45°-∠PCB，
∴∠P=∠PCO，
∴OP=OC，
∴$\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$OC，
∴$\sqrt{2}$（OB+PB）=CD，
∴$\sqrt{2}$OB+$\sqrt{2}$PB=CD，
∴AB+$\sqrt{2}$PB=CD，
∴CD-AB=$\sqrt{2}$PB．

（3）如图3中，①中的结论AC=BD成立．②中结论不成立．结论是：AB+CD=$\sqrt{2}$PB．

理由：①∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD．
②∵∠ABO=∠P+∠PCB，∠ABO=45°
∴∠P=45°-∠PCB，
∵∠PCO=∠DCO-∠DCP，∠DCO=45°，∠DCP=∠PCB，
∴∠PCO=45°-∠PCB，
∴∠P=∠PCO，
∴OP=OC，
∴$\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$OC，
∴$\sqrt{2}$（PB-BO）=CD，
∴$\sqrt{2}$PB-$\sqrt{2}$BO=CD，
∴$\sqrt{2}$PB-AB=CD，
∴AB+CD=$\sqrt{2}$PB．

点评 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是发现△POC是等腰三角形，题目的证明比较巧妙，属于中考压轴题．