题目内容
（本小题满分12分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆
的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
（1）真命题．（2）a：b：c=1：
：
．（3）①见解析②60°或120°．
【解析】
试题分析：（1）设等边三角形的边长为a，代入检验即可；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可得
a2+b2=c2①，因为Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b2②，然后可得b=
a，c=
a，代入可求；（3）①要证明△ACE是奇异三角形，只需证AC2+CE2=2AE2即可；②由①可得ΔACE是奇异三角形，所以AC2+CE2=2AE2． 当ΔACE是直角三角形时，由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．然后分两种情况讨论.
试题解析：【解析】
（1）真命题． （2分）
（2）在RtΔABC中，a2+b2=c2，
∵c>b>a>0，∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，
若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2， （3分）
∴2b2=a2+（a2+b2），∴b2=2a2，得b=a．
∵c2=b2+a2=3a2，∴c=a，
∴a：b：c=1：：． （5分）
（3）在RtΔABC中，a2+b2=c2，
①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；
在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．
∵D是半圆
的中点，∴
，
∴AD=BD， （6分），
∴AB2=AD2+BD2=2AD2， （7分）
又∵CB=CE．AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．
∴ΔACE是奇异三角形． （8分）
②由①可得ΔACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2．
当ΔACE是直角三角形时，
由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．
（Ⅰ）当AC：AE：CE=1：：时，
AC：CE=1：，即AC：CB=1：．
∵∠ACB=900，．∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°． （10分）
（Ⅱ）当AC：AE：CE=：：1时，
AC：CE=：1，即AC：CB=：1．
∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°． （12分）
考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.
名校课堂系列答案
A
A
…叫做“正方形的渐开线”，其中
、
、
…的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点A
的坐标是 .
运动，最后回到点M的位置。设点P运动的路程为x，P与M两点之间的距离为y，其图象可能是（ ）。
x2+bx经过点A（4，0）．设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得
的值最大，则D点的坐标为_____．
，求⊙O的直径．