Question

如图，在等腰△ABC中，AC=BC，分别以AC、BC为边作等边△ACE和△BCD．
（1）当两等边三角形如图（1）所示位置时，BD交AE于F，连接CF，求证：CF平分∠ACB；
（2）都能够两等边三角形如图（2）所示位置时，EA的延长线交DB的延长线于F，（1）中结论是否仍然成立？为什么？
（3）当两等边三角形如图（3）所示位置时，猜想射线CF平分图中的哪些角？（不另作辅助线，不要求证明）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）求证△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，得出结论；
（2）结论是否仍然成立，类比（1）的方法求证△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，得出结论；
（3）由（1）（2）可知，实际上CF是整个图形的对称轴所在的直线，由此写出平分的角即可．

解答： （1）证明：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD为等边三角形
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠FAB=∠FBA
∴AF=BF．
在三角形ACF和△CBF中，

AF=BF AC=BC CF=CF

，
∴△AFC≌△CEB（SSS），
∴∠ACF=∠BCF，
∴CF平分∠ACB；
（2）解：结论CF平分∠ACB仍然成立．
理由：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD为等边三角形
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF．
在三角形ACF和△CBF中，

AF=BF AC=BC CF=CF

，
∴△AFC≌△CEB（SSS），
∴∠ACF=∠BCF，
∴CF平分∠ACB；
（3）解：CF平分∠ECB，∠ACD，∠EFB，∠DFA．

点评：此题考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，以及角平分线的意义，结合图形，灵活运用已知条件解决问题．