Question

20．设a，b都是正实数，且$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}=0$，则${（\frac{b}{a}）^2}+{（\frac{a}{b}）^2}$=3．

Answer 1

分析 先根据题意得出ab=b²-a²，再把等式两边同时除以a²即可得出$\frac{b}{a}$的值，再代入代数式进行计算即可．

解答 解：∵$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a+b}$=0，
∴$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{a+b}$，即$\frac{b-a}{ab}$=$\frac{1}{a+b}$，
∴b²-a²=ab，
等式两边同时除以a²得，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{b}{a}$，
令$\frac{b}{a}$=x，则x²-1-x=0，解得x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．
∵a，b都是正实数，
∴$\frac{b}{a}$＞0，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴原式=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²=3．
故答案为：3．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．