Question

10．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE+AF=a，则线段EF的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

Answer 1

分析 由在边长为a的菱形ABCD中，易得△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，继而证得△ACE≌△DCF，继而证得△CEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点B或点A时，CE的值最大，当CE⊥AB，即E为AB的中点时，EF的值最小．

解答 解：连接AC、CE、CF，如图所示：
∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B=60°，
∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，
∴AB=BC=CD=AC=AD，∠CAE=∠ACB=∠ACD=∠CDF=60°，
∵AE+AF=a，
∴AE=a-AF=AD-AF=DE，
在△ACE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{∠CAE=∠CDF}&{\;}\\{AC=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴∠ACE=∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF=∠DCF+∠ACF，
∴∠ECF=∠ACD=60°，
∴△CEF是正三角形，
∴EF=CE=CF，
当动点E运动到点B或点A时，CE的最大值为a，
当CE⊥AB，即E为BD的中点时，CE的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵EF=CE，
∴EF的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ACE≌△DCF是解此题的关键．