Question

2．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，过点O作AB的平行线交AC于点D，DE⊥AB于点E．
（1）判断四边形ODEB的形状，并给予证明；
（2）将DA沿DE翻折后对应线段为DA′，判断DA′与⊙O的位置关系，证明你的结论，
（3）若tanA=$\frac{4}{3}$，AD=5．直接写出四边形ABOC的周长为24．

Answer 1

分析 （1）结论：四边形ODEB是矩形．首先证明四边形ODEB是平行四边形，再证明∠OBE=90°即可．
（2）结论：DA′是⊙O的切线，作OK⊥DA′于K．理由角平分线的性质定理，只要证明OK=OC即可．
（3）四边形ODEB是矩形，推出EB=OD，DE=OB，∠DEB=∠DEA=90°，设OD=EB=x，在Rt△ADE中，∵AD=5，tanA=$\frac{4}{3}$，推出DE=OB=OC=4，AE=3，由AC、AB是切线，推出AC=AB=3+x，CD=3+x-5=x-2，在Rt△CDO中，根据CD²+OC²=DO²列出方程求出x即可解决问题．

解答 解：（1）四边形ODEB是矩形．
理由：∵AB是切线，
∴OB⊥AB，∵DE⊥AB，
∴DE∥OB，
∵OD∥AB，
∴四边形ODEB是平行四边形，
∵∠OBE=90°，
∴四边形ODEB是矩形．

（2）结论：DA′是⊙O的切线，
理由：作OK⊥DA′于K．
∵DA沿DE翻折后对应线段为DA′，
∴∠ADE=∠A′DE，
∵四边形ODEB是矩形，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODK+∠EDK=90°，∠ADE+∠CDO=90°，
∴∠ODC=∠ODK，
∵AC 是⊙O切线，
∴OC⊥DC，∵OK⊥DK，
∴OK=OC，
∴DA′是⊙O的切线．

（3）∵四边形ODEB是矩形，
∴EB=OD，DE=OB，∠DEB=∠DEA=90°，设OD=EB=x，
在Rt△ADE中，∵AD=5，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴DE=OB=OC=4，AE=3，
∵AC、AB是切线，
∴AC=AB=3+x，CD=3+x-5=x-2，
在Rt△CDO中，∵CD²+OC²=DO²，
∴（x-2）²+4²=x²，
∴x=5，
∴AB=AC=8，CO=OB=4，
∴四边形ABOC的周长为24．
故答案为24．

点评 本题考查圆综合题、矩形的判定和性质、切线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．