Question

【题目】如图，是的直径，点在上，点是上一动点，且与点分别位于直径的两侧，，过点作交的延长线于点；

（1）当点运动到什么位置时，恰好是的切线？画出图形并加以说明．

（2）若点与点关于直径对称，且，画出图形求此时的长．

Answer 1

【答案】（1）画图见解析，证明见解析；（2）画图见解析，CQ＝6.4．

【解析】

（1）画出图形，根据切线的判定，直接判断即可；

（2）画出图形，根据tan∠CPB＝tanA＝，AB＝5，求出AC，BC的长，再根据对称，利用等积法求出CP的长度，最后，再根据tan∠CPB＝＝，求出CQ的长即可．

解：（1）当点P运动到直线OC与⊙O的交点处．

如图，当点P运动到直线OC与⊙O的交点处时，则CP为的直径，

又∵，

∴是的切线；

（2）如图，连接CB．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠P＝∠A，

∴tan∠CPB＝tanA＝，

在Rt△ABC中，tanA＝，

∴设BC=4k，则AC=3k，

又∵AB＝5，

∴（4k）2+（3k）2=52，

∴k=1（舍负）

∴AC＝3，BC＝4．

∵点P与点C关于直径AB对称，

∴CP⊥AB，

在Rt△ABC中，CP＝＝4.8，

在Rt△PCQ中，tan∠CPB＝＝，

∴＝，

∴CQ＝6.4．