Question

【题目】如图1，在中，，是边上一动点，以点为顶点，为一腰作等腰，使，且，设，，我们称为的“顶补三角形”．

（1）求与的数量关系；

（2）如图2，为的“顶补三角形”，过点作的平行线，交于点，若四边形是平行四边形，求证：；

（3）如图3，四边形中，，，点在上，，B，，且，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据等腰三角形的内角关系可以得到，，再结合，即可求出和的关系；

（2）由于四边形是平行四边形，所以,则,同时由得到，在（1）中得到“顶补三角形”的性质，，所以，即可得证；

（3）连接,由已知条件可以证得，所以,根据三角形的外角定理可以得到,结合已知条件，可以得到，而，，所以是的“顶补三角形”，结合在（1）中得到“顶补三角形”的性质可以得到，过点分别作，上的高，，可以证得，相似比为，所以，与此同时结合等腰三角形的性质可以得，，所以，而，所以，

则，即可求解；

解：（1）∵在中，，

，．

在中，，

，．

，

．

．

（2）为的“顶补三角形”，

，．

四边形是平行四边形，

．

．

．

．

（3）连接，

，，，

．

．．

．

，

．

．

又，，

是的“顶补三角形”．

．

过点分别作，上的高，．

则有．

．

同理可证．

．

，分别是等腰与等腰底边上的高，

，．

，，，

．

．

，

，即．

．

．