Question

已知直线l过点A（1，0），B（0，

3

）两点，将直线l绕点A逆时针旋转90°，交y轴于点C，又知P（m，0）．
（1）求直线AB，AC解析式；
（2）求△ABC面积；
（3）若S_△ABP=S_△ABC，求m的值．

Answer 1

考点：一次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）首先设直线AB的解析式为：y=kx+b，由点A（1，0），B（0，

3

），利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；可求得∠BAO的度数，又由直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AC，即可求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得旋转后的直线解析式；
（2）根据△ABC的面积=

1

2

•BC•OA，代入计算即可；
（3）设AP=a．先由S_△ABP=S_△ABC，得出

1

2

a•

3

=

2 3

3

，解方程求出a=

4

3

，再由A（1，0），P（m，0），得到|m-1|=

4

3

，解方程即可求出m的值．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵A（1，0），B（0，

3

），
∴

k+b=0 b= 3

，
解得：

k=- 3 b= 3

，
∴直线AB的解析式为：y=-

3

x+

3

；
在Rt△AOB中，∵OA=1，OB=

3

，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

，
∴∠BAO=60°，
当直线AB绕点A逆时针旋转90°交y轴于点C，
∴∠CAO=90-60°=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴点C的坐标为（0，-

3

3

），
设所得直线为y=mx-

3

3

，
∵A（1，0），
∴0=m-

3

3

，
解得：m=

3

3

；
∴直线AC解析式为：y=

3

3

x-

3

3

；

（2）△ABC的面积=

1

2

•BC•OA=

1

2

×

4 3

3

×1=

2 3

3

；

（3）设AP=a．
∵S_△ABP=S_△ABC，
∴

1

2

a•

3

=

2 3

3

，
∴a=

4

3

．
∵A（1，0），P（m，0），
∴|m-1|=

4

3

，
∴m=

7

3

或-

1

3

．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、解直角三角形及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．