Question

如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AB=13，sinB=

12

13

，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接AD，利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可以得到AB=AC；
（2）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；
（3）根据AB=13，sinB=

12

13

，可求得AD和BD，再由∠B=∠C，即可得出DE，根据勾股定理得出CE．

解答：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC，又D是BC的中点，
∴AB=AC；

（2）证明：连接OD，
∵O、D分别是AB、BC的中点，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵AB=13，sinB=

12

13

，
∴

AD

AB

=

12

13

，
∴AD=12，
∴由勾股定理得BD=5，
∴CD=5，
∵∠B=∠C，
∴

DE

CD

=

12

13

，
∴DE=

60

13

，
∴根据勾股定理得CE=

25

13

．

点评：本题目考查了切线的判定以及等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意．