Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD+AB=14，（AB＞AD）BD=10，BD=DC，E、F分别是BC、CD上的点，且CE+CF=4．
（1）求BC的长；
（2）设EC的长为x，四边形AEFD的面积为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由已知，∠BAD=90°，AD+AB=14，根据勾股定理可求出AD和AB，再过点D作DG⊥BC与G，则由已知梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，得BG=AD，又BD=DC，所以得CG=BG，从而求出BC的长．
（2）由已知可以用x表示出梯形AECD的面积，另已知设EC=x，则CF=4-x，在直角三角形DEB中，能求出sin∠DBE，又BD=DC，则能求出sin∠C，所以用x可表示出三角形CEF的面积，那么四边形AEFD的面积等于梯形AECD的面积-三角形CEF的面积，从而求出y关于x的函数关系式．

解答：解：（1）设直角三角形BAD的一直角边为x，则另一直角边为14-x，根据勾股定理得：
x²+（14-x）²=10²，
化简得：x²-14x+48=0，
即（x-6）（x-8）=0，
∴x=6或x=8，
∵已知AB＞AD，
∴AB=8，AD=6，
再过点D作DG⊥BC与G，
∵已知梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG=AD=6，DG=AB=8，
又BD=DC（已知），
∴三角形BDC是等腰三角形，
已作DG⊥BC与G，
∴CG=BG=6（等腰三角形的性质），
所以得：BC=BG+CG=6+6=12；

（2）∵AD∥BC，
∴四边形AECD为梯形且与梯形ABCD同高，
∴梯形AECD的面积为：

1

2

（x+6）•8=4x+24，
在直角三角形BGD中，sin∠DBG=

DG

BD

=

8

10

=

4

5

，
又BD=DC，
∴△BDC为等腰三角形，
∴sinC=sin∠DBG=

4

5

，
已知设EC=x，CE+CF=4，则CF=4-x，
∴△CEF的面积为：

1

2

x•（4-x）sinC=

1

2

x•（4-x）•

4

5

=

8

5

x-

2

5

x²，
则四边形AEFD的面积为y=梯形AECD的面积-△CEF的面积
=4x+24-（

8

5

x-

2

5

x²）=

2

5

x²+

12

5

x+24，
所以y关于x的函数关系式为：y=

2

5

x²+

12

5

x=24．

点评：此题考查了学生对直角梯形、等腰三角形的性质及勾股定理几何综合题的解题能力，解题的关键是：
（1）根据勾股定理可求出AD和AB，再过点D作DG⊥BC与G，得出BG和CG，从而求出BC的长．
（2）求出梯形AECD的面积，再求出△CEF的面积，二者之差就是四边形AEFD的面积，从而求出y关于x的函数关系式．