Question

已知，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD交于点P．
（1）若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度数；
（2）试探索∠P与∠A、∠D间的数量关系；
（3）若∠A：∠D：∠P=2：4：x，求x的值．

Answer 1

考点：对顶角、邻补角,角平分线的定义

专题：

分析：（1）运用三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，可得∠D+∠DCN=∠P+∠PBN，∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，再根据角平分线的定义和等式的性质可得∠D+∠A=2∠P，从而求出∠P的度数；
（2）由（1）可求得∠P=

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（∠A+∠D）；
（3）代入（2）的关系式可求得x的值．

解答：
解：（1）∵∠BNC=∠D+∠DCN，∠BNC=∠P+∠PBN（三角形的外角等于两个不相邻的内角的和），
∴∠D+∠DCN=∠P+∠EBN（等量代换），
同理：∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，
∴∠D+∠DCN+∠A+∠ABP=2∠P+∠PBN+∠ACP（等式性质），
∵BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，
∴∠DCN=∠ACP，∠ABP=∠PBN（角平分线的定义），
∴∠D+∠A=2∠P（等式性质），
∵∠A=70°，∠D=60°，
∴∠P=65°；
（2）由（1）可得∠D+∠A=2∠P，即∠P=

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（∠A+∠D）；
（3）由∠A：∠D：∠P=2：4：x，可设∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk（k≠0），代入∠D+∠A=2∠P可得：6k=2xk，解得x=3．

点评：本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是在复杂图形中观察出外角和内角之间的关系，有一定的难度．