Question

14．已知，点C在y轴上，OC=3，将线段OC绕点O顺时针旋转90°至OB的位置，点A的横坐标为方程x²-1=0的一个解且点A、B在y轴两侧．
（1）求经过A、B、C的抛物线的解析式；
（2）如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使△MAC为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情形①C（0，3），B（3，0），A（-1，0），②C（0，-3），B（-3，0），A（1，0）分别利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1可知，抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，连接BC与对称轴的交点即为所求的点P，根据$\frac{BH}{BO}$=$\frac{PH}{CO}$，BO=CO，得PH=BH=2，由此即可解决问题．
（3）设点M的坐标为（1，m），在△MAC中，AC²=10，MC²=1+（m-3）²，MA²=4+m²，分三种情形分别列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵OC=3，且在y轴上，
∴C（0，3）或C（0，-3）
∵OC绕点O顺时针旋转90°至OB位置
∴OB=OC=3
∴C（0，3），B（3，0）或C（0，-3），B（-3，0）
解x²-1=0得x₁=1，x₂=-1
∴C（0，3），B（3，0），A（-1，0）或C（0，-3），B（-3，0），A（1，0）
①设y=a（x+1）（x-3）
代入C（0，3），得-3a=3
∴a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3
②设y=a（x-1）（x+3）
代入C（0，-3），得-3a=-3∴a=1
∴y=（x-1）（x+3）=x²+2x-3
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3或y=x²+2x-3

（2）如图1可知，抛物线的解析式为y=-x²+2x+3

∴抛物线的对称轴是直线x=1
当点P落在线段BC上时，PA+PC最小，△PAC的周长最小，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，
由$\frac{BH}{BO}$=$\frac{PH}{CO}$，BO=CO，得PH=BH=2
∴点P的坐标为（1，2）

（3）设点M的坐标为（1，m）
在△MAC中，AC²=10，MC²=1+（m-3）²，MA²=4+m²
①当∠MAC=90°时，AM²+AC²=MC²
解方程4+m²+10=1+（m-3）²，
∴m=-$\frac{2}{3}$，
∴点M的坐标为（1，-$\frac{2}{3}$）

②当∠AMC=90°时，CM²+AM²=AC²．
解方程1+（m-3）²+4+m²=10，
∴m=2或m=1
∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）

③当∠ACM=90°时，CM²+CA²=AM²．
解方程1+（m-3）²+10=4+m²，
∴m=$\frac{8}{3}$
点M的坐标为（1，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、最值问题、勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最值问题，属于中考压轴题．